一般地，把形如y=ax²+bx+c（a≠0）（a、b、c是常数）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。

顶点坐标

交点式为 y=a（x-x₁）（x-x₂）（仅限于与x轴有交点的抛物线），

与x轴的交点坐标是A（X₁，0）和B（x₂,0）。

注意：“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别。 ^[1] 

大约在公元前480年，古巴比伦人和中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。

7世纪印度的婆罗摩笈多是第一位懂得使用代数方程的人，它同时容许有正负数的根。

11世纪阿拉伯的花拉子密 独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作Liber embadorum中，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。

据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是：在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍；在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方；然后在方程的两边同时开二次方（引自婆什迦罗第二）

1.二次函数的图像是抛物线，但抛物线不一定是二次函数。开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

 。 ^[2]  对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）。

2.抛物线有一个顶点P，坐标为P

 。当

 时，P在y轴上；当

 时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；|a|越小，则抛物线的开口越大；|a|越大，则抛物线的开口越小

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab<0）（可巧记为：左同右异），对称轴在y轴右侧。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0, c）

6.抛物线与x轴交点个数：

 时，抛物线与x轴有2个交点。

 时，抛物线与x轴有1个交点。当

 时，抛物线与x轴没有交点。

7.当

 时，函数在

 处取得最小值

 ；在

 上是减函数，在

 上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是

 。

当

 时，函数在

 处取得最大值

 ；在

 上是增函数，在

 上是减函数；抛物线的开口向下；函数的值域是

 。

当

 时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax²+c(a≠0)。

8.定义域：R

9.值域：当a>0时，值域是

 ；当a<0时，值域是

 。 ^[6] 

奇偶性：当b=0时，此函数是偶函数；当b不等于0时，此函数是非奇非偶函数。

周期性：无

解析式：

①一般式：

⑴a≠0

⑵若a>0，则抛物线开口朝上；若a<0，则抛物线开口朝下。

⑶顶点：

 ；

⑷

若Δ>0，则函数图像与x轴交于两点：

 和

 ；

若Δ=0，则函数图像与x轴交于一点：

若Δ

②顶点式：

 此时顶点为（h,k)

 时，对应顶点为

 ，其中,

 ；

③交点式：

函数图像与x轴交于

 和

 两点。